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प्रश्न
दर्शाइए कि: `(1 xx 2^2 + 2 xx 3^2 + .... + "n" xx ("n" + 1)^2)/(1^2 xx 2 + 2^2 xx 3 + .... + "n"^2 xx ("n" + 1)) = (3"n" + 5)/(3"n" + 1)`
उत्तर
अंश का nवाँ पद = n(n + 1)2 = n(n2 + 2n + 1)
= n3 + 2n2 + n
अंश के n पदों का योग S1 = `sum"n"^3 + 2sum"n"^2 + sum"n"`
= `("n"^2 ("n" + 1)^2)/4 + (2"n" ("n" + 1) (2"n" + 1))/6 + ("n"("n" + 1))/2`
= `("n"("n" + 1))/12 [3"n" ("n" + 1) + 4(2"n" + 1) + 6]`
= `("n"("n" + 1))/12 [3"n"^2 + 3"n" + 8"n" + 4 + 6]`
= `("n"("n" + 1))/12 [3"n"^2 + 11"n" + 10]`
= `("n"("n" + 1) ("n" + 2) (3"n" + 5))/12`
हर का nवाँ पद = n2 (n + 1) = n3 + n2
हर के n पदों का योग S2 = `sum"n"^3 + sum"n"^2`
= `("n"^2 ("n" + 1)^2)/4 + ("n" ("n" + 1) (2"n" + 1))/6`
= `("n"("n" + 1))/12 [3"n" ("n" + 1) + 2(2"n" + 1)]`
= `("n"("n" + 1))/12 [3"n"^2 + 3"n" + 4"n" + 2]`
= `("n"("n" + 1))/12 [3"n"^2 + 7"n" + 2]`
= `("n"("n" + 1) ("n" + 2) (3"n" + 1))/12`
`"S"_1/"S"_2 = (("n"("n" + 1) ("n" + 2) (3"n" + 5))/12)/(("n"("n" + 1) ("n" + 2) (3"n" + 1))/12)`
= `(3"n" + 5)/(3"n" + 1)`
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