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प्रश्न
निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों तक योग ज्ञात कीजिए:
`1^3/1 + (1^3 + 2^3)/(1 + 3) + (1^3 + 2^3 + 3^3)/ (1 + 3 + 5) + ......`
उत्तर
अंश में दी हुई संख्याएँ 13, 13 + 23, 13 + 23 + 33, …..
nवाँ पद = 13 + 23 + 33 + ….. + n3
= `("n"^2("n" + 1)^2)/4`
हर में दी हुई संख्याएँ 1, (1 + 3), (1 + 3 + 5), ……
nवाँ पद = 1 + 3 + 5 + …… n पदों तक
= `"n"/2 [2 + ("n" + 1)2] = "n"^2`
∴ दी हुई श्रेणी का nवाँ पद = `(("n"^2("n" + 1)^2)/4)/"n"^2 = ("n" + 1)^2/4`
= `("n"^2 + 2"n" + 1)/4`
∴ दी हुई श्रेणी के nवाँ पदों का योग = `1/4 (sum"n"^2 + 2sum"n" + 1)`
= `1/4 [("n"("n" + 1)(2"n" + 1))/6 + 2("n"("n" + 1))/2 + "n"]`
= `"n"/24 [("n" + 1) (2"n" + 1) + 6("n" + 1) + 6]`
= `"n"/24 [(2"n"^2 + 3"n" + 1) + (6"n" + 6) + 6]`
= `("n" (2"n"^2 + 9"n" + 13))/24`
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