Question

निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों तक योग ज्ञात कीजिए:

`1^3/1 + (1^3 + 2^3)/(1 + 3) + (1^3 + 2^3 + 3^3)/ (1 + 3 + 5) + ......`

Answer 1

अंश में दी हुई संख्याएँ 1³, 1³ + 2³, 1³ + 2³ + 3³, …..

nवाँ पद = 1³ + 2³ + 3³ + ….. + n³

= `("n"^2("n" + 1)^2)/4`

हर में दी हुई संख्याएँ 1, (1 + 3), (1 + 3 + 5), ……

nवाँ पद = 1 + 3 + 5 + …… n पदों तक

= `"n"/2 [2 + ("n" + 1)2] = "n"^2`

∴ दी हुई श्रेणी का nवाँ पद = `(("n"^2("n" + 1)^2)/4)/"n"^2 = ("n" + 1)^2/4`

= `("n"^2 + 2"n" + 1)/4`

∴ दी हुई श्रेणी के nवाँ पदों का योग = `1/4 (sum"n"^2 + 2sum"n" + 1)`

= `1/4 [("n"("n" + 1)(2"n" + 1))/6 + 2("n"("n" + 1))/2 + "n"]`

= `"n"/24 [("n" + 1) (2"n" + 1) + 6("n" + 1) + 6]`

= `"n"/24 [(2"n"^2 + 3"n" + 1) + (6"n" + 6) + 6]`

= `("n" (2"n"^2 + 9"n" + 13))/24`