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Question
यदि S1, S2, S3, क्रमशः प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग, उनके वर्गों का योग तथा घनों का योग है तो सिद्ध कीजिए कि `9"S"_2^2 = "S"_3 (1 + 8"S"_1)`
Solution
S1 = n प्राकृत संख्याओं का योग
= 1 + 2 + 3 + ….. n पदों तक
= `("n"("n" + 1))/2` ............(i)
S2 = n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग
= 12 + 22 + 32 + ….. + n2
= `("n"("n" + 1)(2"n" + 1))/6` .............(ii)
S3 = n प्राकृत संख्याओं के घनों का योग
= 13 + 23 + 33 + ….. + n3
= `("n"^2("n" + 1)^2)/4`
दायाँ पक्ष = S3(1 + 8S1)
= `("n"^2("n" + 1)^2)/4 [1 + 8 ("n"("n" + 1))/2]`
= `("n"^2("n" + 1)^2)/4 [1 + 4"n"^2 + 4"n"]`
= `("n"^2("n" + 1)^2 (2"n" + 1)^2)/4`
= `("n"^2("n" + 1)^2 (2"n" + 1)^2)/36 xx 9`
= `(["n" ("n" + 1) (2"n" + 1)]^2)/4`
= `"S"_2^2 xx 9 = 9"S"_2^2` = बायाँ पक्ष।
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