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प्रश्न
एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दुगुना है। यदि दोनों के बीच के कोण की स्पर्शज्या (tangent) `1/3` है तो रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए।
उत्तर
मान लीजिए m1 और m दो दी गई रेखाओं के ढाल हैं जैसे कि `m_1 = 2m`
हम जानते हैं कि यदि θ ढाल m1 और m2 वाली रेखाओं l1 और l2 के बीच का कोण है, तो
`tan theta = |(m_2 - m_1)/(1 + m_1m_2)|`
यह दिया गया है कि दो रेखाओं के बीच के कोण का स्पर्शज्या `1/3` है।
`1/3 = |(m - 2m)/(1 + (2m).m)|`
`1/3 = |(- m)/(1 + 2m^2)|`
`1/3 = (- m)/(1 + 2m^2) "या" 1/3 = -((-m)/(1 + 2m^2)) = m/(1 + 2m^2)`
स्थिति I
= `1/3 = (-m)/(1 + 2m^2)`
= 1 + 2m2 = -3m
= 2m2 + 3m + 1 = 0
= 2m2 + 2m + m + 1 = 0
= 2m(m + 1) +1(m + 1) = 0
= (m + 1) (2m + 1) = 0
= m = -1 या m = `-1/2`
यदि m = -1 है, तो रेखाओं की ढाल -1 और -2 है।
यदि m =`1/2`, तो रेखाओं की ढाल `1/2` और -1 है।
स्थिति II
= `1/3 = m/(1 + 2m^2)`
= 2m2 + 1= 3m
= 2m2 - 3m + 1 = 0
= 2m2 - 2m - m + 1 = 0
= 2m(m - 1) +1(m - 1) = 0
= (m - 1) (2m - 1) = 0
= m = 1 या m = `1/2`
यदि m = 1 है, तो रेखाओं की ढाल 1 और 2 है।
यदि m = `1/2`, तो रेखाओं की ढाल `1/2` और 1 है।
इसलिए, रेखाओं की ढाल -1 और -2 या `-1/2` और -1 या 1 और 2 या `1/2` और 1 है।
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