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प्रश्न
किन पूर्णांकों m और n के लिए `lim_(x → 0) f(x)` और `lim_(x → 1) f(x)` दोनों का अस्तित्व है, यदि
`f(x) = {(mx^2 + n, x < 0),(nx + m, 0 ≤ x ≤ 1),(nx^3 +m,x > 1):}`
उत्तर
(i) x = 0 पर,
`lim_(x → 0^-) f(x) = lim_(x → 0^-) (mx^2 + n) = n`
`lim_(x → 0^+) f(x) = lim_(x → 0^+) (nx + m) = m`
⇒ m = n
(ii) x = 1 पर
`lim_(x → 1^-) f(x) = lim_(x → 1^-) (nx + m) = n + m = 2m, m ∈ R`
`lim_(x → 1^+) f(x) = lim_(x → 1^+) (nx^3 + m) = n + m = 2m, m ∈ R`
∴ m = n, n ∈ R के लिए
`lim_(x → 0) f(x) = m, m ∈ R`
`lim_(x → 1) f(x) = 2m, m ∈ R`
अतः `lim_(x → 0) f(x)` के अस्तित्व हेतु m = n अनिवार्य रूप से होना चाहिए; m तथा n के किसी भी पूर्णांक मान के लिए `lim_(x → 1) f(x)` का अस्तित्व है।
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