Question

निम्नलिखित प्रश्न में परिमेय फलन का समाकलन कीजिए:

${\displaystyle \frac{x^3+x+1}{x^2-1}}$

Answer 1

माना ${\displaystyle I=\int \frac{x^3+x+1}{x^2-1} dx}$

चूँकि ${\displaystyle \frac{x^3+x+1}{x^2-1}}$ एक अनुचित भिन्न है, इसलिए हम इसे लंबी विभाजन विधि द्वारा उचित भिन्न में बदलते हैं।

${\displaystyle x^2-1)\overline{x^3+x+1}(x}$
              x³ - x
            -     +       
                     2x + 1
${\displaystyle \frac{x^3+x+1}{x^2-1}=Q+\frac{R}{D}}$

∴ ${\displaystyle \frac{x^3+x+1}{x^2-1}=x+\frac{2x+1}{x^2-1}}$        ....(i)

अब,

${\displaystyle \frac{2x+1}{x^2-1}=\frac{2x+1}{(x+1)(x-1)}}$

${\displaystyle =\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}}$

⇒ 2x + 1 = A (x - 1) + B (x + 1)              ....(ii)

(ii) में x = -1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

-2 + 1 = A (-1-1)

⇒ ${\displaystyle A=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}}$

(ii) में x = 1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

2 + 1 = B (1 + 1)

⇒ ${\displaystyle B=\frac{3}{2}}$

∴ ${\displaystyle \frac{2x+1}{x^2-1}=\frac{1}{2(x+1)}+\frac{3}{2(x-1)}}$             ....(iii)

(i) और (iii) से,

${\displaystyle \frac{x^3+x+1}{x^2-1}=x+\frac{1}{2(x+1)}+\frac{3}{2(x-1)}}$

∴ ${\displaystyle \int \frac{x^3+x+1}{x^2-1} dx}$

${\displaystyle =\int x dx+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1}+\frac{3}{2}\int \frac{dx}{x-1}}$

${\displaystyle =\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}\log |x+1|+\frac{3}{2} \log |x-1|+C}$