Question

निम्नलिखित प्रश्न में परिमेय फलन का समाकलन कीजिए:

${\displaystyle \frac{3x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}}$

Answer 1

माना ${\displaystyle \frac{3x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}}$

${\displaystyle =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}}$

⇒ 3x - 1 = A(x - 2) (x - 3) + B(x - 1) (x - 3) + C(x - 1) (x – 2) …(1)

समीकरण (1) में x = 1 रखने पर,

3 - 1 = A(1 - 2) (1 - 3)

⇒ 2 = A(-1) (-2)

⇒ A = 1

पुनः समीकरण (1) में x = 2 रखने पर,

6 - 1 = B (2 - 1) (2 - 3)

⇒ 5 = B(1) (-1)

⇒ B = -5

समीकरण (1) में x = 3 रखने पर,

9 - 1 = C (3 - 1) (3 - 2)

⇒ 8 = C (2) (1)

⇒ C = 4

${\displaystyle \therefore \frac{3x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}}$

${\displaystyle =\frac{1}{x-1}-\frac{5}{x-2}+\frac{4}{x-3}}$

${\displaystyle =\int \frac{3x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}}$ dx

${\displaystyle =\frac{1}{x-1} dx-5\int \frac{1}{x-2} dx+4\int \frac{1}{x-3} dx}$

= log (x - 1) - 5 log (x - 2) + 4 log (x - 3) + C