Question

ऊष्मा (परागमन में ऊर्जा) का मात्रक कैलोरी है और यह लगभग 4.2 J के बराबर है, जहाँ 1 J =1 kg m² s^-2 मान लीजिए कि हम मात्रकों की कोई ऐसी प्रणाली उपयोग करते हैं जिसमें द्रव्यमान का मात्रक α kg के बराबर है, लंबाई का मात्रक β m के बराबर है, समय का मात्रक γs के बराबर है। यह प्रदर्शित कीजिए कि नए मात्रकों के पदों में कैलोरी का परिमाण 4.2 α^-1 β^-2 γ² है।

Answer 1

1 कैलोरी = 4.2.J = 4.2 kg-m²S^-2
ऊर्जा का विमीय सूत्र = [ML²F^-2]
माना दी गई दो मापन पद्धतियों में द्रव्यमान, लंबाई तथा समय के मात्रक क्रमशः M₁,L₁, T₁, तथा M₂,L₂, T₂, हैं।

तब `"M"_1 = 1  "kg",  "L"_1 = 1  "m",  "T"_1 = 1 "s"`

तथा  `"M"_2 = α  "kg",   "L"_2 = β  "m",  "T"_2 = ϒ"s"` 

अतः  `"u"_1 = ["M"_1  "L"_1^2  "T"_1^-2],      "u"_2 =  ["M"_2  "L"_2^2  "T"_2^-2], `

n₁ = 4.2,  n₂ = ?

∴ सूत्र n₁u₁ = n₂u₂  से, `"n"_2 = "n"_1 "u"_1/"u"_2`

अतः  `"n"_2 = "n"_1 ["M"_1/"M"_2]^1 ["L"_1/"L"_2]^2  ["T"_1/"T"_2]^-2`

`= 4.2 [(1  "kg")/(α  "kg")]^1  xx  [(1 "m")/(β "m")]^2 xx  [(1 "s")/(ϒ "s")]^-2`

`= 4.2  xx  1/α xx 1/β^2  xx (1/ϒ)^-2`

`= 4.2  α^-1  β^-2  ϒ^2` 

अर्थात दूसरी पद्धति में 1 कैलोरी का मान ` 4.2  α^-1  β^-2  ϒ^2`  है।

Answer 2

`n_2=n_1u_1/u_2=n_1([M_1^aL_1^bT_1^c])/([M_2^aL_2^bT_2^c])`

= n₁ `[M_1/M_2]^a[L_1/L_2]^b[T_1/T_2]^c`

1 कैलोरी = 4.2 kg m² s^-2 ∴ a = 1, b = 2, c = -2

SI	नई प्रणाली
`n_1 =    4.2`	`n_2 = ?`
`M_1 = 1 kg`	`M_2 = alpha kg`
`L_1 = 1m`	`L_2 = beta m`
`T_1 = 1 s`	`T_2 = y  "सेकन्ड"`

Now, n₂ `=4.2[(1kg)/(alphakg)]^1[(1m)/(betam)]^2[(1s)/(gammas)]^(-2)`

 `n_2 = 4.2 alpha^(-1) beta^(-2) gamma^2`

∴ 1 कैलोरी = `4.2 alpha^(-1) beta^(-2) gamma^2`