Question

P एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा CD का मध्य-बिंदु है। C से होकर PA के समांतर खींची गई रेखा AB को Q पर तथा बढ़ाई हुई DA को R पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि DA = AR और CQ = QR है।

Answer 1

दिया गया है - एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में, P, DC का मध्य-बिंदु है।

सिद्ध करना है - DA = AR और CQ = QR 

उपपत्ति - ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

∴ BC = AD और BC || AD

साथ ही, DC = AB और DC || AB

चूँकि, P, DC का मध्य-बिंदु है।

∴ DP = PC = `1/2`DC

अब, QC || AP और PC || AQ

इसलिए, APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

AQ = PC = `1/2`DC

= `1/2`AB = BQ   [∵ DC = AB]  ...(i)

अब, ΔAQR और ΔBQC में,

AQ = BQ  ...[समीकरण (i) से]

 ∠AQR = ∠BQC  ...[शीर्षाभिमुख कोण]

और ∠ARQ = ∠BCQ  ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण]

∴ ΔAQR = ΔBQC   ...[AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]

∴ AR = BC   ...[CPCT नियम द्वारा]

लेकिन BC = DA

∴ AR = DA

साथ ही, CQ = QR  ...[CPCT नियम द्वारा]

अतः सिद्ध हुआ।