Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेदी रेखाओं को स्पर्श करने वाले वृत्त का केंद्र इन रेखाओं से बने कोण के समद्विभाजक पर स्थित होता है।
उत्तर
दिया गया है: केंद्र O वाले वृत्त के बाहरी बिंदु P से दो स्पर्शरेखाएँ PQ और PR खींची गई हैं।
सिद्ध करने के लिए: दो प्रतिच्छेदी रेखाओं को छूने वाले वृत्त का केंद्र स्पर्श रेखाओं से बने कोण के कोण समद्विभाजक पर स्थित होता है।
निर्माण: OR और OQ को मिलाएँ।
∆POR और ∆POQ में,
∠PRO = ∠PQO = 90° ...[वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु के माध्यम से त्रिज्या के लंबवत है।]
OR = OQ ...[समान वृत्त की त्रिज्या]
चूंकि, ओपी आम है।
∴ ∆PRO ≅ ∆PQO ...[RHS]
अतः, ∠RPO = ∠QPO ...[CPCT द्वारा]
इस प्रकार, O, PR और PQ के कोण समद्विभाजक पर स्थित है।
अत: सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
आकृति में, यदि TP, TQ केन्द्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 1100, तो ∠PTQ बराबर है ______.
यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 800 के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर है:
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त स्पर्श करती हो।
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, केंद्र से संपर्क बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंडों द्वारा अंतरित कोण का संपूरक होता है।
4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु D द्वारा BC विभाजित है) की लम्बाईयाँ क्रमश: 8 cm और 6 cm हैं (देखिए आकृति)। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने साम्ने की भुजाएँ केन्द्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
यदि त्रिज्या 3 cm वाले एक वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ ऐसी खींची जाएँ कि उनके बीच का कोण 60° हो, तो प्रत्येक स्पर्श रेखा की लंबाई होगी ______।
वृत्त की दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 0° हो सकता है।
एक बाहरी बिंदु P से केंद्र O वाले वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची जाती हैं। वृत्त के एक बिंदु E पर एक स्पर्श रेखा खींची जाती है, जो PA और PB को क्रमश : D और E पर प्रतिच्छेद करती है। यदि PA = 10 cm है, तो त्रिभुज PCD का परिमाप ज्ञात कीजिए।
