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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
उत्तर
(a)
(b)
मान लीजिए कि दो समरूप ∆ABC ∼ ∆PQR हैं, जिनकी संगत माध्यिकाएँ AD एवं PM हैं। (देखिए आकृति)
चूँकि ∆ABC ∼ ∆PQR दिया है।
∠A = ∠P, ∠B = ∠Q
एवं ∠C = ∠R …(1)
एवं `"AB"/"PQ" = "BC"/"QR" = "CA"/"RP"` …(2) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
∵ `"AB"/"PQ" = "BC"/"QR" = (2"BD")/(2"QM") = "BD"/"QM"` ….(3)
[D, BC का एवं M, QR का मध्य-बिन्दु है]
अब ∆ABD एवं ∆PQM में,
∠B = ∠Q [समीकरण (1) से]
एवं `"AB"/"PQ" = "BD"/"QM"` ........[समीकरण (3) से]
⇒ ∆ABD ∼ ∆PQM .........[SAS समरूपता]
⇒ `"AB"/"PQ" = "AD"/"PM"` ............(4) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
अब ∵ `("ar"("ABC"))/("ar"("PQR")) = ("AB"/"PQ")^2` ............ (5) [समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल प्रगुण]
⇒ `("ar"("ABC"))/("ar"("PQR")) = ("AD"/"PM")^2` ........[समीकरण (4) एवं (5) से]
अतः दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
इति सिद्धम्
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