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प्रश्न
आकृति में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिंदु है जबकि BD ⊥ AC तथा DM ⊥ BC और DN ⊥ AB है। सिद्ध कीजिए कि
(i) DM2 = DN.MC
(ii) DN2 = DM.AN
उत्तर
चूँकि DMBN एक आयत है
[∠M = ∠B = ∠N = 90° दिया है]
⇒ DM = BN एवं DN = MB
(i) ∵ समकोण ∆BDC के समकोण वाले शीर्ष D से DM ⊥ CB खींचा गया है।
⇒ ∆DMC ∼ ∆BMD [प्रमेय : 6.7 से]
⇒ `"DM"/"MB" = "MC"/"DM"` [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ DM2 = MB.MC
⇒ DM2 = DN.MC [∵ DN = MB समीकरण (1) से]
इति सिद्धम्
(ii) समकोण ∆ADB से समकोण वाले शीर्ष D से DN ⊥ AB खींचा गया है।
⇒ ∆DNB ∼ ∆AND [प्रमेय : 6.7 से]
⇒ `"DN"/"AN" = "BN"/"DN"` [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण से]
⇒ DN2 = BN.AN
⇒ DN2 = DM.AN [∵ BN = DM समीकरण (1) से]
इति सिद्धम्
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