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प्रश्न
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है (देखिए आकृति में)। दर्शाइए कि
- ΔAPD ≅ ΔCQB
- AP = CQ
- ΔAQB ≅ ΔCPD
- AQ = CP
- APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
उत्तर
(i) ΔAPD और ΔCQB में,
∠ADP = ∠CBQ ...(BC || AD के लिए एकांतर अंत: कोण)
AD = CB ...(समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ)
DP = BQ ...(दिया गया है)
∴ ΔAPD ≅ ΔCQB ...(SAS सर्वांगसमता नियम का उपयोग करके)
(ii) जैसा कि हमने देखा था कि ΔAPD ≅ ΔCQB,
∴ AP = CQ ...(CPCT)
(iii) ΔAQB और ΔCPD में,
∠ABQ = ∠CDP ...(AB || CD के लिए एकांतर अंत: कोण)
AB = CD ...(समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ)
BQ = DP ...(दिया गया है)
∴ ΔAQB ≅ ΔCPD ...(SAS सर्वांगसमता नियम का उपयोग करके)
(iv) जैसा कि हमने देखा था कि ΔAQB ≅ ΔCPD,
∴ AQ = CP ...(CPCT)
(v) (ii) और (iv) में प्राप्त परिणामों से,
AQ = CP और
AP = CQ
क्योंकि चतुर्भुज APCQ में सम्मुख भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, इसलिए APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
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