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प्रश्न
संलग्न आकृति में ΔPQR एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें बिंदु S यह रेख QR पर इस प्रकार है कि, QS = `1/3`QR तो सिद्ध कीजिए कि; 9PS2 = 7PQ2
उत्तर
उपपत्ति : रेख PT ⊥ भुजा QR इस प्रकार खींचो कि, Q-T-R.
ΔPQR एक समबाहु त्रिभुज है |
∴ PQ = QR = PR .............(समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ) .........(1)
∠Q = 60° .............(समबाहु त्रिभुज के कोण) .........(2)
ΔPQT में,
∠PTQ + ∠PQT + ∠QPT = 180° .............(त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180°)
∴ 90° + 60° + ∠QPT = 180° ...........[रचना और (2) से]
∴ 150° + ∠QPT = 180°
∴ ∠QPT = 180° = 150°
∴ ∠QPT = 30°
∴ ΔPQT एक 30° - 60° - 90° त्रिभुज है |
∴ त्रिभुज के 30° - 60° - 90° के प्रमेय से,
PT = `sqrt3/2`PQ ............(60° की सम्मुख भुजा)
QT = `1/2`PQ ............(30° की सम्मुख भुजा)
QS + ST = QT ............(Q-S-T)
∴ `1/3`QR + ST = `1/2`PQ
∴ `1/3`PQ + ST = `1/2`PQ .............[(1) से]
∴ ST = `1/2`PQ - `1/3`PQ
∴ ST = `(3"PQ" - 2"PQ")/6`
∴ ST = `"PQ"/6`
ΔTPS में,
∠PTS = `90^circ` ...............(रचना)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
`"PS"^2 = "PT"^2 + "ST"^2`
∴ `"PS"^2 = (sqrt3/2 "PQ")^2 + ("PQ"/6)^2`
∴ `"PS"^2 = (3"PQ"^2)/4 + ("PQ"^2)/36`
∴ `"PS"^2 = (27"PQ"^2 + "PQ"^2)/36`
∴ `"PS"^2 = (28"PQ"^2)/36`
∴ `"PS"^2 = (7"PQ"^2)/9`
∴ 9PS2 = 7PQ2
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