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प्रश्न
यदि 3 cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि `((1-tan^2 A)/(1+tan^2 A)) = cos^2 A - sin^2 A` है या नहीं।
उत्तर
यह दिया गया है कि 3cot A = 4 या cot A = `4/3`
बिंदु B पर समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करें।
cot A =` ("संलग्न भुजा ∠A")/("सम्मुख भुजा ∠A")`
`("AB")/("BC") = 4/3`
यदि AB 4k है, तो BC 3k होगा, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है।
In ΔABC,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2
= (4k)2 + (3k)2
= 16k2 + 9k2
= 25k2
AC = 5k
cos A = `("संलग्न भुजा ∠A")/"कर्ण" = ("AB")/("AC")`
= `(4k)/(5k)`
= `4/5`
sin A = `("संलग्न भुजा ∠A")/"कर्ण" = ("BC")/("AC")`
= `(3k)/(5k)`
= `3/5`
tan A = `("संलग्न भुजा ∠A")/"कर्ण" = ("BC")/("AB")`
= `(3k)/(4k)`
= `3/4`
`(1-tan^2 A)/(1+tan^2 A) = ((1 - (3/4)^2)/(1+(3/4)^2))`
= `((1-9/16)/(1+9/16))`
= `(7/16)/(25/16)`
= `7/25`
`cos^2 A + sin^2 A = (4/5)^2 - (3/5)^2`
= `16/25 - 9/25`
= `7/25`
∴ `(1-tan^2A)/(1+tan^2 A)= cos^2A - sin^2A`
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