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प्रश्न
त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = `1/sqrt3` है, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।
- sin A cos C + cos A sin C
- cos A cos C − sin A sin C
उत्तर
tan A = `1/sqrt3`
`("BC")/("AB") = 1/ sqrt3`
यदि BC k है, तो AB `sqrt3k` होगा, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है।
In ΔABC,
AC2 = AB2 + BC2
= `(sqrt3k)^2 + (k)^2`
= 3k2 + k2
= 4k2
∴ AC = 2k
sin A = `("∠A की संलग्न भुजा")/"कर्ण" = ("BC")/("AC") = k/(2k) = 1/2`
cos A = `("∠A की संलग्न भुजा")/"कर्ण" = ("AB")/("AC") = (sqrt3k)/(2k) = sqrt3/2`
sin C = `("∠C की संलग्न भुजा")/"कर्ण" = ("AB")/("AC") = (sqrt3k)/(2k) = sqrt3/2`
cos C = `("∠C की संलग्न भुजा")/"कर्ण" = ("BC")/("AC") = (k)/(2k) = 1/2`
(i) sin A cos C + cos A sin C
= `(1/2)(1/2)+(sqrt3/2)(sqrt3/2) `
= `1/4 + 3/4`
= `4/4`
= 1
(ii) cos A cos C − sin A sin C
= `(sqrt3/2)(1/2)-(1/2)(sqrt3/2)`
= `sqrt3/4 - sqrt3/4`
= 0
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