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प्रश्न
यदि बिंदु A और B क्रमशः (3, 4, 5) तथा (−1, 3, –7) हैं। चर बिंदु P द्वारा निर्मित समुच्चय से संबंधित समीकरण ज्ञात कीजिए, जहाँ PA2 + PB2 = k2 जब कि k अचर है।
उत्तर
बिंदु A और B के निर्देशांक क्रमशः (3, 4, 5) और (-1, 3, -7) दिए गए हैं।
माना बिंदु P के निर्देशांक (x, y, z) हैं।
दूरी- सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
PA2 = (x - 3)2 + (y - 4)2 + (z - 5)2
= x2 + 9 - 6x + y2 + 16 - 8y + z2 + 25 - 10z
= x2 - 6x + y2 - 8y + z2 -10z + 50
PB2 = (x + 1)2 + (y - 3)2 + (z + 7)2
= x2 + 2x + y2 - 6y + z2 + 14z + 59
अब, यदि PA2 + PB2 = k2, तो
(x2 - 6x + y2 - 8y + z2 - 10z + 50) + (x2 + 2x + y2 - 6y + z2 + 14z + 59) = k2
= 2x2 + 2y2 + 2z2 - 4x - 14y + 4z + 109 = k2
= 2(x2 + y2 + z2 - 2x - 7y + 2z) = k2 - 109
= x2 + y2 + z2 - 2x - 7y + 2z = `(k^2 - 109)/2`
इस प्रकार, आवश्यक समीकरण x2 + y2 + z2 - 2x - 7y + 2z = `(k^2 - 109)/2` है।
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