Advertisements
Advertisements
Question
यदि बिंदु A और B क्रमशः (3, 4, 5) तथा (−1, 3, –7) हैं। चर बिंदु P द्वारा निर्मित समुच्चय से संबंधित समीकरण ज्ञात कीजिए, जहाँ PA2 + PB2 = k2 जब कि k अचर है।
Solution
बिंदु A और B के निर्देशांक क्रमशः (3, 4, 5) और (-1, 3, -7) दिए गए हैं।
माना बिंदु P के निर्देशांक (x, y, z) हैं।
दूरी- सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
PA2 = (x - 3)2 + (y - 4)2 + (z - 5)2
= x2 + 9 - 6x + y2 + 16 - 8y + z2 + 25 - 10z
= x2 - 6x + y2 - 8y + z2 -10z + 50
PB2 = (x + 1)2 + (y - 3)2 + (z + 7)2
= x2 + 2x + y2 - 6y + z2 + 14z + 59
अब, यदि PA2 + PB2 = k2, तो
(x2 - 6x + y2 - 8y + z2 - 10z + 50) + (x2 + 2x + y2 - 6y + z2 + 14z + 59) = k2
= 2x2 + 2y2 + 2z2 - 4x - 14y + 4z + 109 = k2
= 2(x2 + y2 + z2 - 2x - 7y + 2z) = k2 - 109
= x2 + y2 + z2 - 2x - 7y + 2z = `(k^2 - 109)/2`
इस प्रकार, आवश्यक समीकरण x2 + y2 + z2 - 2x - 7y + 2z = `(k^2 - 109)/2` है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
एक त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः A(0, 0, 6), B(0, 4, 0) तथा C(6, 0, 0) हैं। त्रिभुज की माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।
y-अक्ष पर उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिसकी बिंदु P(3, –2, 5) से दूरी `5sqrt2` है।
P(2, –3, 4) और Q(8, 0, 10) को मिलाने वाली रेखाखंड पर स्थित एक बिंदु R का x-निर्देशांक 4 है। बिंदु R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(संकेत: मान लीजिए R, PQ को k : 1 में विभाजित करता है। बिंदु R के निर्देशांक `((8"k" + 2)/("k" + 1), (-3)/("k" + 1), (10"k" + 4)/("k" + 1))` हैं।)
