Question

अंकगणिती श्रेढीच्या m व्या पदाची m पट ही n व्या पदाच्या n पटीबरोबर असेल, तर त्याचे (m + n) वे पद शून्य असते हे दाखवा. (m ≠ n)

Answer 1

अंकगणिती श्रेढीच्या m व्या पदाची m पट = mt_m

अंकगणिती श्रेढीच्या n व्या पदाची n पट = nt_n

दिलेल्या अटीनुसार, mt_m = nt_n 

∴ m[a + (m - 1)d] = n[a + (n - 1)d]

∴ ma + md(m - 1) = na + nd(n - 1)

∴ ma + m²d – md = na + n²d - nd

∴ ma + m²d - md - na - n²d + nd = 0

∴ (ma - na) + (m²d - n²d) - (md - nd) = 0

∴ a(m - n) + d(m² - n²) - d(m - n) = 0

∴ a(m - n) + d(m + n) (m - n) - d(m - n) = 0

∴ (m – n) [a + d(m + n) – d] = 0

∴ (m - n)[a + (m + n - 1) d] = 0

∴ [a+ (m + n - 1)d] = 0   ....[दोन्ही बाजूंना (m - n) ने भागून]

∴ `"t"_("m + n") = 0`

∴ अंकगणिती श्रेढीचे (m + n) वे पद शून्य आहे.