Question

चित्र में एक श्रेणीबद्ध LCR परिपथ दिखलाया गया है जिसे परिवर्ती आवृत्ति के 230 V के स्रोत से जोड़ा गया है। L = 5.0 H, C = 80 µF, R = 40 Ω

1. स्रोत की आवृत्ति निकालिए जो परिपथ में अनुनाद उत्पन्न करे।
2. परिपथ की प्रतिबाधा तथा अनुनादी आवृत्ति पर धारा का आयाम निकालिए।
3. परिपथ के तीनों अवयवों के सिरों पर विभवपात के rms मानों को निकालिए। दिखलाइए कि अनुनादी आवृत्ति पर LC संयोग के सिरों पर विभवपात शून्य है।

Answer 1

प्रेरक का प्रेरकत्व, L = 5.0 H

संधारित्र की धारिता, C = 80 μF = 80 × 10⁻⁶ F

प्रतिरोधक का प्रतिरोध, R = 40 Ω

परिवर्तनीय वोल्टेज स्रोत का विभव, V = 230 V

(a) अनुनाद कोणीय आवृत्ति इस प्रकार दी गई है:

`ω_"R" = 1/sqrt"LC"`

= `1/sqrt(5 xx 80 xx 10^-6)`

= `10^3/20`

= 50 rad s⁻¹

अतः, परिपथ 50 rad s⁻¹ की स्रोत आवृत्ति के लिए अनुनाद में आएगा।

(b) परिपथ की प्रतिबाधा निम्न संबंध द्वारा दी जाती है,

`"Z" = sqrt("R"^2 + (ω"L" - 1/(ω"C"))^2)`

प्रतिध्वनि पर,

`ω"L" = 1/(ω"C")`

∴ Z = R = 40 Ω

अनुनादी आवृत्ति पर धारा का आयाम इस प्रकार दिया गया है:

`"I"_0 = "V"_0/"Z"`

जहाँ

V₀ = शिखर का मान

= `sqrt(2"V")`

∴ `"I"_0 = (sqrt2"V")/"Z"`

= `(sqrt2 xx 230)/4`

= 8.13 A

अतः अनुनाद पर परिपथ की प्रतिबाधा 40 Ω है तथा धारा का आयाम 8.13 A है।

(c) प्रारंभक में rms संभावित गिरावट,

(V_L)_rms = I × ω_RL

जहाँ,

I = rms धारा

= `"I"_0/sqrt2`

`(sqrt2"V")/(sqrt2"Z")`

= `230/40`A

∴ (V_L)_rms = `230/40 xx 50 xx 5`

= 1437.5 V

संधारित्र में विभव गिरावट,

(V_c)_rms = `"I" xx 1/(ω_"R""C")`

= `230/40 xx 1/(50 xx 80 xx 10^-6)`

= 1437.5 V

प्रतिरोधक पर विभव गिरावट,

(V_R)_rms = IR

= `230/40 xx 40`

= 230 V

LC संयोजन में संभावित गिरावट,

V_LC = `"I"(ω_"R""L" - 1/(ω_"R""C"))`

अनुनाद पर, ω_RL = `1/(ω_"R""C")`

∴ V_LC = 0

अतः यह सिद्ध है कि अनुनादी आवृत्ति पर LC संयोजन में विभव गिरावट शून्य है।