Question

दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हो और परस्पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है |

Answer 1

दिया है : ABCD एकचतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC = BD है और एक

दुसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है जहाँ AO = CO तथा BO = DO है

सिद्ध करना है : ABCD एक वर्ग है | 

प्रमाण : ΔAOB तथा ΔCOD में

AO = CO (दिया है)

BO = DO (दिया है)

∠AOB = ∠COD (शिर्षाभिमुख कोण)

अत: SAS सर्वांगसमता नियम से

ΔAOB ≅ ΔCOD

 ∴ AB = CD (By CPCT) …… (1)

तथा ∠BAO = ∠DCO (एकांतर कोण) (By CPCT)

 ∴ AB || CD ......... (2) (एकांतर कोण बराबर हो तो रेखाएँ समांतर होती है )

समीo (1) तथा (2) से

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |

(यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर एवं समान्तर हो तो वह समान्तर चतुर्भुज होता है)

∴ AD = BC ........... (3) (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा बराबर होती है)

अब ΔAOD तथा ΔCOD में

AO = CO (दिया है)

DO = DO (उभयनिष्ठ)

∠AOD = ∠COD (90^o प्रत्येक)

अत: SAS सर्वांगसमता नियम से

ΔAOD ≅ ΔCOD

 ∴ AD = CD (By CPCT) …… (4)

समीo (1), (3) तथा (4) से हम पाते हैं |

AB = BC = CD = AD ........... (5) 

अब, ΔABD तथा ΔABC में

AD = BC (वर्ग की सम्मुख भुजा)

AB = AB (उभयनिष्ठ)

BD = AC (दिया है)

SSS सर्वांगसमता नियम से

ΔABD ≅ ΔABD

∴ ∠A = ∠B (By CPCT) …… (6)

चूँकि ABCD एक वर्ग है |

∴ AD || BC और AB एक तिर्यक रेखा है | 

अत: ∠A + ∠B = 180^o (अंत: आसन्न कोणों का योग)

⇒∠A + ∠A = 180^o ..समीo (6) से

⇒2∠A = 180^o

⇒ ∠A = `180^circ/2  = 90^circ`

⇒∠A = 90^o .......... (7) 

समीo (5) तथा (7) से स्पष्ट है कि 

ABCD एक वर्ग है