Question

फलन का समाकलन कीजिए।

`(x + 3)/(x^2 - 2x - 5)`

Answer 1

माना `I = int (x + 3)/ (x^2 - 2x - 5)  dx`

`x + 3 = A [d/dx (x^2 - 2x - 5)] + B`  रखने पर,

= A (2x - 2) +B              ....(i)

(i) में x के गुणांक की तुलना करने पर, हमें यह मिलता है।

1 = 2A

⇒ `A = 1/2`

(i) में स्थिर पदों की तुलना करने पर, हमें यह मिलता है।

3 = B - 2A

⇒ 3 = B - 1

⇒ B = 4

`I = int (1/2 (2x - 2) + 4)/(x^2 - 2x - 5)`

`1/2 int (2x - 2)/ (x^2 - 2x - 5) dx + 4 int dx /(x^2 - 2x - 5)`

माना `I = 1/2 I_1 + 4I_2`                      ....(ii)

`I_1 = int (2x - 2)/ (x^2 - 2x -5)  dx`

x² - 2x - 5 = t रखने पर,

⇒ (2x - 2) dx = dt

∴ `I_1 = intdt/t = log |t| = log |x^2 - 2x - 5| + C_1`          ....(iii)

और  `I_2 = int dx/ (x^2 - 2x - 5)`

`= dx/ ((x - 1)^2 - 6)`

`= int dx/ ((x - 1)^2 - (sqrt6)^2) = 1/(2sqrt6) log |(x - 1 - sqrt6)/(x - 1 + sqrt6)| + C_2`

अतः (ii), (iii) और (iv) से, हमें प्राप्त होता है।

∴ `I = 1/2 log |(x^2 - 2x - 5)| + 2/ sqrt6 log |(x - 1 - sqrt6)/(x - 1 + sqrt6)| + C`