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Question
मान लीजिए कि A और B समुच्चय हैं। यदि किसी समुच्चय X के लिए A ∩ X = B ∩ X = ϕ तथा A ∪ X = B ∪ X तो सिद्ध कीजिए कि A = B.
(संकेत: A = A ∩ (A ∪ X), B = B ∩ (B ∪ X) और वितरण नियम का प्रयोग कीजिए)
Solution
दिया है A ∪ X = B ∪ X, जब कि X कोई समुच्चय है।
⇒ A ∩ (A ∪ X) = A ∩ (B ∪ X) [A ⊂ A ∪ X, ∴ A ∩ (A ∪ X) = A]
⇒ A = A ∩ (B ⊂ X)
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ X) [वितरण नियम से]
= (A∩ B) U ϕ (∴ दिया है, A ∩ X = ϕ)
= A ∩ B
⇒ A ⊂ B …(i)
पुनः A ∪ X = B ∪ X
⇒ B ∩ (A ∪ X) = B ∩ (B ∪ X)
⇒ B ∩ (A ∪ X) = B [∴ B ⊂ B ∪ X]
⇒ (B ∩ A) ∪ (B ∩ X) = B [वितरण नियम से]
⇒ (B ∩ A) ∪ ϕ = B [दिया है: B ∩ X = ϕ]
⇒ (B ∩ A) = B
⇒ B ⊂ A …..(ii)
समी. (i) और (ii) से, हम पाते हैं कि A = B.
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