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Question
निम्नलिखित कथनों को अभिगृहीत माना गया है :
- यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है तो संगत कोण आवश्यक रूप से बराबर नहीं होते हैं।
- यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है तो एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
क्या अभिगृहीतों का यह निकाय संगत (अविरोधी) है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
Solution
अभिगृहीतों की एक प्रणाली को सुसंगत कहा जाता है, यदि कोई ऐसा कथन नहीं है जो इन अभिगृहीतों से इस प्रकार निकाला जा सके कि यह किसी अभिगृहीत का खंडन करता हो। हम जानते हैं कि यदि एक तिर्यक रेखा दो समानांतर रेखाओं को काटती है, तो संगत कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है, जो एक प्रमेय है। इसलिए, कथन I असत्य है और अभिगृहीत नहीं है।
साथ ही, हम यह भी जानते हैं कि यदि एक तिर्यक रेखा दो समानांतर रेखाओं को काटती है, तो एकांतर अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है। यह भी एक प्रमेय है। इसलिए, कथन II सत्य है और एक अभिगृहीत है।
इस प्रकार, दिए गए कथनों में पहला असत्य है और दूसरा अभिगृहीत है।
अत:, अभिगृहीतों की दी गई प्रणाली संगत नहीं है।
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निम्नलिखित प्रश्न को उपयुक्त यूक्लिड की अभिगृहीत का प्रयोग करते हुए, हल कीजिए :
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निम्नलिखित प्रश्न को उपयुक्त यूक्लिड की अभिगृहीत का प्रयोग करते हुए, हल कीजिए :
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- वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की दोगुनी हों, परस्पर बराबर होती है।
जाँच कीजिए कि क्या अभिगृहीतों का यह निकाय संगत है या असंगत है।
