Question

निम्नलिखित प्रश्न को फलन का समाकलन कीजिए।

e^2x . sin x

Answer 1

माना `int e^(2x). sin x  dx`

sinx को प्रथम व e^2x को द्वितीय फलन लेकर खण्डशः समाकलन करने पर,

`= int underset("II")(e^(2x)). underset("I")(sin x)  dx`

`=> sin x. e^(2x)/2 - int cos x . e^(2x)/2  dx`

`= e^(2x)/2. sin x - 1/2 int underset("II")(e^(2x)) underset("I")(cos x)  dx`

पुन: खंडशः समाकलन करने पर,

`= e^(2x)/2 . sin x - 1/2 [cos x . e^(2x)/2 - int - sin x . e^(2x)/2  dx]`

`= e^(2x)/2 . sin x - 1/4 e^(2x) cos x - 1/4 int e^(2x) sin x  dx  C_1`

`= e^(2x)/2 . sin x - 1/4 e^(2x) cos x - 1/4  I + C_1`

`because I = e^(2x) . sin x`

`=> I + 1/4  I = e^(2x)/4 - [2 sin x - cos x] + C_1`

`=> (5I)/4 = e^(2x)/4  [2 sin x - cos x] + C`

`=> I = e^(2x)/5  [ 2 sin x - cos x] + C`          ...जहाँ `C = 4/5  C_1`

`I = e^(2x)/5  [2 sin x - cos x] + C`

Answer 2

माना `I = inte^(2x) sinx dx`

`= e^(2x) int sin x dx - int [d/dx (e^(2x))* int sin x dx] dx`

`= e^(2x) (- cos x) - int 2e^(2x) (- cos x) dx + C_1`

`= -e^(2x) cos x + 2 int e^(2x) cos x dx + C_1`

`= -e^(2x) cos x + 2`       `...[e^(2x) int cos x dx - int (d/dx (e^(2x))* int cos xdx)  dx] + C_1`

`= -e^(2x) cos x + 2e^(2x) sin x - 4 int e^(2x) sin x dx + C_1 + C_2`

`= e^(2x) (2 sin x - cos x) - 4I + C_1 + C_2`

∵ `5I = e^(2x) (2 sinx - cos x) + C_1 + C_2`

⇒ `I = (e^(2x))/5 (2 sin x - cos x) + C`

C = C₁ + C₂