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Question
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
`2xy + y^2 - 2x^2 dy/dx = 0`; y = 2 यदि x = 1
Solution
दिया गया समीकरण
`2xy + y^2 - 2x^2 dy/dx = 0`
या `dy/dx = (2xy + y^2)/(2x^2)`
`= y/x + 1/2(y/x)^2` ....(i)
स्पष्टतः यह एक समीकरण अवकल समीकरण है।
∴ y = vx रखने पर,
`dy/dx = v + x (dv)/dx` ....(समीकरण (i) में)
`v + x (dv)/dx = v + 1/2 v^2`
`=> x (dv)/dx = 1/2 v^2`
`=> 2 xx 1/v^2 dv = 1/x dv`
समाकलन करने पर
`2 int 1/v^2 dv = int 1/x dv - 2/v = log |x| + C`
अतः v के स्थान पर `(y/x)` रखने पर,
`- (2x)/y = log |x| + C` ....(ii)
दिया है y = 2 यदि x = 1 ....(समीकरण (ii) से)
`(- 2)/2 = log1 + C`
- 1 = 0 + C
⇒ C = - 1
C = - 1 समीकरण (ii) में रखने पर,
`(- 2x)/y = log |x| - 1`
y = `(2x)/(1 - log |x|)`
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