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Question
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
`"dy"/"dx" - y/x + cosec (y/x) = 0;` y = 0 यदि x = 1
Solution
दिया गया अवकल समीकरण
`dy/dx - y/x + cosec (y/x)` = 0 ....(i)
`dy/dx = y/x - cosec (y/x)`
स्पष्टतः यह समीकरण अवकल समीकरण है।
∴ y = vx रखने पर,
`v + x (dv)/dx `= v - cosec v समीकरण (i) में,
`=> x (dv)/dx` = - cosec v
sin v dv = `- 1/x` dx
समाकलन करने पर,
`- int sin v dv = int 1/x dx`
cos v = log x + C
अतः v के स्थान पर `(y/x)` रखने पर,
`cos ("y"/x) = log |x| + C` ....(ii)
दिया है, y = 0 यदि x = 1 ...(समीकरण (ii) से)
cos 0 = log 1 + C
⇒ C = 1
C का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
`cos (y/x) = log |x| + log |e|`
`cos (y/x) = log |ex|`
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