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Question
मूल बिंदु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।
Solution
हम जानते हैं कि वक्र पर स्पर्शरेखा का ढलान `dy/dx` है।
हमें यह बताया गया है कि,
`dy/dx = x + y`
⇒ `dy/dx - y = x` ....(1)
जो कि इस प्रकार का एक रैखिक समीकरण है,
`dy/dx + Py = Q`
यहाँ P = -1 और Q = x
∴ `I.F. = e^(intP dx) = e^(int -dx) = e^-x`
∴ समाधान है, `y. (I.F.) = int Q. (I.F.) dx + C`
`y.e^-x = int x.e^-x dx + C`
`= x * (e^-x)/-1 - int (1) (e^-x)/-1 dx + C` ...[भागों द्वारा एकीकरण]
⇒ `ye^-x = -xe^-x + int e^-x dx + C`
`= -xe^-x + (e^-x)/-1 + C`
⇒ y = -x - 1 + Cex ....(2)
चूँकि वक्र मूल बिंदु (0, 0) से होकर गुजरता है,
∴ 0 = - 0 - 1 + Ce0
⇒ C = 1
(2) में रखने पर, हमें y = -x - 1 + ex मिलता है,
⇒ x + y + 1 = ex
जो वक्र का आवश्यक समीकरण है।
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