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प्रश्न
मूल बिंदु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।
उत्तर
हम जानते हैं कि वक्र पर स्पर्शरेखा का ढलान `dy/dx` है।
हमें यह बताया गया है कि,
`dy/dx = x + y`
⇒ `dy/dx - y = x` ....(1)
जो कि इस प्रकार का एक रैखिक समीकरण है,
`dy/dx + Py = Q`
यहाँ P = -1 और Q = x
∴ `I.F. = e^(intP dx) = e^(int -dx) = e^-x`
∴ समाधान है, `y. (I.F.) = int Q. (I.F.) dx + C`
`y.e^-x = int x.e^-x dx + C`
`= x * (e^-x)/-1 - int (1) (e^-x)/-1 dx + C` ...[भागों द्वारा एकीकरण]
⇒ `ye^-x = -xe^-x + int e^-x dx + C`
`= -xe^-x + (e^-x)/-1 + C`
⇒ y = -x - 1 + Cex ....(2)
चूँकि वक्र मूल बिंदु (0, 0) से होकर गुजरता है,
∴ 0 = - 0 - 1 + Ce0
⇒ C = 1
(2) में रखने पर, हमें y = -x - 1 + ex मिलता है,
⇒ x + y + 1 = ex
जो वक्र का आवश्यक समीकरण है।
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