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प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
`x^2 dy/dx = x^2 - 2y^2 + xy`
उत्तर
दिया गया `x^2 dy/dx = x^2 - 2y^2 + xy`
⇒ `dy/dx = (x^2 - 2y^2 + xy)/x^2`
`= 1 - 2 (y^2/x) + y/x` ....(1)
चूँकि R.H.S. का रूप `g(y/x)` है, अतः यह घात शून्य का एक समरूप फलन है।
अतः समीकरण (1) एक समरूप अवकल समीकरण है।
∴ y = vx रखने पर,
⇒ `dy/dx = v.1 + x (dv)/dx`
दिए गए समीकरण में y और `dy/dx` के इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है।
`v + x (dv)/dx = 1 - 2 v^2 + v`
⇒ `x (dv)/dx = 1 - 2v^2`
⇒ `1/x dx = 1/ (1 - 2v^2) dv`
एकीकरण पर, हमें मिलता है।
`log |x| = int 1/ (1 - 2v^2) dv + C`
⇒ `log |x| = 1/2 int (dv)/ ((1/ sqrt2)^2 - v^2) + C`
⇒ `log |x| = 1/2 * 1/ (2* (1/sqrt2)) log |((1/sqrt2)+v)/((1/sqrt2) - v)| + C`
⇒ `log |x| = 1/(2sqrt2) log |(1 + sqrt(2v))/(1 - sqrt(2v))| + C`
⇒ `log |x| = 1/ (2 sqrt2) log |(1 + sqrt2* (y/x))/(1 - sqrt2 * (y/x))| + C`
⇒ `log |x| = 1/ (2sqrt2) log | (x + sqrt(2y))/(x - sqrt(2y))| + C`
जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है।
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