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प्रश्न
बिंदु (0, 2) से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु के निर्देशांकों का योग उस बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से 5 अधिक है।
उत्तर
मान लें निर्देशांक x और y हैं, तो
`x + y = dy/dx + 5`
⇒ `dy/dx - y = x - 5` ....(1)
जो `dy/dx + Py = Q` प्रकार का एक रैखिक अंतर समीकरण है।
यहाँ P = -1 और Q = x - 5
∴ `I.F. = e^(int Pdx) = e^(int -1 dx) = e^-x`
∴ समाधान है, `y. (I.F.) = int Q. (I.F.) dx + C`
`y.e^-x = int (x - 5) e^-x dx + C`
`= int xe^-x dx - 5 int e^-x dx + C`
`= x (e^-x/-1) - int (1) (e^-x)/-1 dx - 5 (e^-x)/-1 + C` ....[भागों द्वारा एकीकरण]
⇒ `ye^-x = -xe^-x + e^-x/-1 + 5e^-x + C`
`= -xe^-x + 4e^-x + C`
⇒ `y = -x + 4 + Ce^x` ....(2)
चूँकि वक्र (0, 2) से होकर गुजरता है, हमें प्राप्त होता है,
2 = -0 + 4 + C
⇒ C = -2
(2) में C = -2 रखने पर, हमें प्राप्त होता है,
y = -x + 4 - 2ex
⇒ y = 4 - x - 2ex
जो वक्र का आवश्यक समीकरण है।
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