Question

निम्नलिखित प्रश्न में परिमेय फलन का समाकलन कीजिए:

`x/((x^2 + 1)(x - 1))`

Answer 1

माना `x/((x^2 + 1)(x - 1)) = (Ax + B)/(x^2 + 1) + C/((x - 1))`

⇒ x = (A) (+ B)(x - 1) + C = `1/2`

x = 1 रखने पर,

1 = 0 + 2C

⇒ C `= 1/2`

x² व x के गुणांकों की तुलना करने पर,

0 = A + C

⇒ A = `- 1/2`

तथा 1 = - A + B

⇒ B `= 1/2`

अत: `int x/((x^2 + 1)(x - 1))  dx`

`= int (- 1/2  x + 1/2)/(x^2 + 1)  dx + 1/2 int 1/(x - 1)  dx`

`= -1/2 int (x - 1)/(x^2 + 1)  dx + 1/2  log abs (x - 1) + C`

`= 1/4 int (2x)/(x^2 + 1) + 1/2 int 1/(x^2 + 1)  dx + 1/2 log abs (x - 1) + C`

`= - 1/4  log abs (x^2 + 1) + 1/2  tan^-1 x + 1/2  log abs (x - 1) + C`