Question

निश्चित समाकलन में गुणधर्म का उपयोग करते हुए प्रश्न में समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-

`int_0^(pi//2) (sqrt(sinx))/(sqrt(sin x) + sqrt(cos x)) dx`

Answer 1

माना `I = int_0^(pi/2) sqrtsinx/(sqrt sinx + sqrt cos x)  dx`    ...(i)

(i) में x को `(pi/2 - x)` से प्रतिस्थापित करने पर,

`[∵ int_0^a f (x) dx = int_0^a f (a - x) dx]`

`I = int_0^(pi/2) (sqrt sin (pi/2 - x))/ (sqrt sin (pi/2 - x) + sqrt cos (pi/2 - x))  dx`

`I = int_0^(pi/2) sqrtcosx/(sqrtcos x + sqrt sin x)  dx`      ...(ii)

(i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है।

`2I = int_0^(pi/2) [sqrt sinx/ (sqrt sinx + sqrt cos x) + sqrt cos x/(sqrt cos x + sqrt sinx)]  dx` 

`= int_0^(pi/2) (sqrt cos x + sqrt sin x)/(sqrt cosx + sqrt sin x)`

`= int_0^(pi/2) dx = [x]_0^(pi/2)`

`= pi/2 - 0`

`= pi/2`

⇒ `I = pi/4`