Question

निश्चित समाकलन में गुणधर्म का उपयोग करते हुए प्रश्न में समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-

`int_0^(2pi) cos^5 x  dx`

Answer 1

माना f (x) = cos⁵ x

अब हमारे पास है,

f (2π - x) = (cos (2π - x))⁵

= (cos x)⁵ = cos⁵ x = f (x)

⇒ `I = 2 int_0^pi cos^5 x dx`       

`[∵ int_0^(2a) f (x) dx = 2 int_0^a f (x)dx, "यदि"  (2a - x) = f(x) = 0, "यदि" (2a - x) = -f(x)]`

पुनः, हमारे पास है,

f (π - x) = (cos (π - x))⁵ = -cos⁵ x = - f(x)

⇒ `2 int_0^pi cos^5 x  dx = 0`

अत: `int_0^(2pi) cos^5 x  dx `

`= 2 int_0^5 cos^5 x  dx `

= 2 × 0

= 0