Question

समांतरभुज चौकोनाच्या तीन शिरोबिंदूंचे निर्देशक A(5,6), B(1,-2) आणि C(3,-2) असतील तर चौथ्या बिंदूच्या निर्देशकांच्या शक्य त्या सर्व जोड्या काढा.

Answer 1

समजा, बिंदू A(5, 6), B(1, -2) आणि C(3, -2) हे समांतरभुज चौकोनाचे तीन शिरोबिंदू आहेत.

आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, बिंदू D किंवा बिंदू D₁ किंवा बिंदू D₂ हा चौथा शिरोबिंदू असू शकतो.

समजा, D(x₁, y₁), D₁(x₂, y₂) आणि D₂(x₃, y₃).

समजा, `square"ACBD"` हा समांतरभुज चौकोन आहे.

समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात.

∴ DC चा मध्यबिंदू = AB चा मध्यबिंदू

∴ `((x_1 + 3)/2, (y_1 - 2)/2) = ((5 + 1)/2, (6 - 2)/2)`

∴ `((x_1 + 3)/2, (y_1 - 2)/2) = (6/2, 4/2)`

∴ `(x_1 + 3)/2 = 6/2` आणि `(y_1 - 2)/2 = 4/2`

∴ x₁ + 3 = 6 आणि y₁ - 2 = 4

∴ x₁ = 3 आणि y₁ = 6 

∴ बिंदू D(x₁, y₁) चे निर्देशक (3, 6) आहेत.

समजा, `square`ABD₁C हा समांतरभुज चौकोन आहे.

समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात. 

∴ AD₁ चा मध्यबिंदू = BC चा मध्यबिंदू 

∴ `((x_2 + 5)/2, (y_2 + 6)/2) = ((3 + 1)/2, (-2 - 2)/2)`

∴ `((x_2 + 5)/2, (y_2 + 6)/2) = (4/2, (-4)/2)`

∴ `(x_2 + 5)/2 = 4/2` आणि `(y_2 + 6)/2 = (-4)/2`

∴ x₂ + 5 = 4 आणि y₂ + 6 = –4 

∴ x₂ = –1 आणि y₂ = –10 

∴ समजा, D₁(x₂, y₂) चे निर्देशक (–1, –10) आहेत. 

`square`ABCD₂ हा समांतरभुज चौकोन आहे. 

समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात. 

∴ BD₂ चा मध्यबिंदू = AC चा मध्यबिंदू  

∴ `((x_3 + 1)/2, (y_3 - 2)/2) = ((5 + 3)/2, (6 - 2)/2)`

∴ `((x_3 + 1)/2, (y_3 - 2)/2) = (8/2, 4/2)`

∴ `(x_3 + 1)/2 = 8/2` आणि `(y_3 - 2)/2 = 4/2`

∴ x₃ + 1 = 8 आणि y₃ - 2 = 4

∴ x₃ = 7 आणि y₃ = 6

∴ D₂(x₃, y₃) या बिंदूचे निर्देशक (7, 6) आहेत. 

∴ दिलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या D या चौथ्या शिरोबिंदूचे निर्देशक (3, 6), (-1, -10) आणि (7, 6) आहेत.