Advertisements
Advertisements
Question
वर्तुळाचे कोणतेही तीन बिंदू एकरेषीय नसतात, हे सिद्ध करा.
Solution
पक्ष: O केंद्र असलेले एक वर्तुळ.
बिंदू A, B व C हे वर्तुळावरील कोणतेही तीन बिंदू आहेत.
साध्य: बिंदू A, B व C हे एकरेषीय नाहीत.
सिद्धता:
OA = OB ......[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
∴ बिंदू O हा रेख AB च्या A व B या अंत्यबिंदूंपासून समान अंतरावर आहे.
∴ बिंदू O हा AB च्या लंबदुभाजकावर आहे.
त्याचप्रमाणे, आपण सिद्ध करू शकतो, की बिंदू O हा BC च्या लंबदुभाजकावर आहे. ......[लंबदुभाजकाचे प्रमेय]
∴ बिंदू O हा लंबदुभाजक AB व BC चा छेदनबिंदू आहे. (म्हणजेच, ΔABC चे परिकेंद्र). ....(i)
आता बिंदू A, B व C हे एकरेषीय आहेत असे मानू.
तर AB व BC चे लंबदुभाजक समांतर असतील. ......[एकाच रेषेला लंब असणाऱ्या रेषा परस्परांना समांतर असतात.]
∴ हे लंबदुभाजक बिंदू O वर परस्परांना छेदणार नाहीत. हे आपल्या विधान (i) शी म्हणजेच 'बिंदू O हा लंबदुभाजक AB व BC चा छेदनबिंदू आहे' या विधानाशी विसंगत आहे
∴ 'बिंदू A, B व C हे एकरेषीय आहेत' हे आपण मानलेले विधान चुकीचे आहे.
∴ बिंदू A, B व C हे एकरेषीय नाहीत.
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा.
परस्परांना छेदणाऱ्या दोन वर्तुळांपैकी प्रत्येक वर्तुळ दुसऱ्या वर्तुळाच्या केंद्रातून जाते. जर त्यांच्या केंद्रांतील अंतर 12 सेमी असेल, तर प्रत्येक वर्तुळाची त्रिज्या किती सेमी आहे?
आकृती मध्ये, केंद्र X व Y असणारी अंतर्स्पर्शी वर्तुळे बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. रेख BZ ही मोठ्या वर्तुळाची जीवा लहान वर्तुळाला बिंदू A मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा - रेख AX || रेख BY.
सोबतच्या आकृतीमध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाची रेख DE ही जीवा आहे. रेख CF ⊥ जीवा DE आणि DE = 16 सेमी, तर DF ची लांबी काढा.
सोबतच्या आकृतीत, केंद्र A असलेल्या वर्तुळाला रेषा MN बिंदू M मध्ये स्पर्श करते. जर AN = 13 तसेच MN = 5 असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
सोबतच्या आकृतीत, बिंदू M वर्तुळ केंद्र आणि रेख KL हा स्पर्शिकाखंड आहे. जर MK = 12, KL = `6sqrt3`, तर
- वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
- ∠K आणि ∠M
आकृतीमध्ये, जीवा AC आणि जीवा DE बिंदू B मध्ये छेदतात. जर ∠ABE = 100° आणि m(कंस AE) = 95°, तर m(कंस DC) काढा.
P हा केंद्रबिंदू असलेल्या वर्तुळात जीवा AB ही एका स्पर्शिकेला समांतर आहे आणि स्पर्शबिंदूतून काढलेल्या त्रिज्येला तिच्या मध्यबिंदूत छेदते. जर AB = `16sqrt3`, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
आकृतीमध्ये, P केंद्र असलेले वर्तुळ O केंद्र असलेल्या अर्धवर्तुळाला Q व C बिंदूंत स्पर्श करते. जर व्यास AB = 10, AC = 6 असेल, तर लहान वर्तुळाची त्रिज्या x किती?
आकृतीमध्ये, `square`ABCD च्या बाजूंना आतून स्पर्श करणाऱ्या वर्तुळाचा केंद्र O आहे. जर AD ⊥ DC तसेच BC= 38, QB = 27, DC = 25 असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
बिंदू A, B आणि C केंद्र असलेली तीन वर्तुळे परस्परांना बाहेरून स्पर्श करतात. जर AB = 36, BC = 32 आणि CA = 30 असेल, तर प्रत्येक वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
