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Question
x के सभी वास्तविक मानों के लिए `(1 - x + x^2)/(1 + x = x^2)` का न्यूनतम मान है:
Options
0
1
3
`1/3`
Solution
`1/3`
स्पष्टीकरण:
माना y = `(1 - x + x^2)/(1 + x = x^2)`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx = ((-1 + 2x)(1 + x + x^2) - (1 - x + x^2)(1 + 2x))/((1 + x + x^2)^2)`
`= ((- 1 - x + x^2) + (2x + 2x^2 + 2x^3) - [(1 - x + x^2 + 2x - 2x^2 = 2x^3)])/((1 + x + x^2)^2)`
`= (-1 - x - x^2 + 2x + 2x^2 + 2x^3 - 1 + x - x^2 - 2x + 2x^2 - 2x^3)/((1 + x + x^2)^2)`
`= (-2 + 2x^2)/((1 + x + x^2)^2)`
`= (2 (x^2 - 1))/((1 + x + x^2)^2)`
`= (2(x - 1)(x + 1))/((1 + x + x^2)^2)`
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, `dy/dx = 0`
`therefore (2(x - 1)(x + 1))/((1 + x + x^2)^2) = 0/1`
=> (x - 1)(x + 1) = 0
`therefore` x = 1, -1
x = 1 पर `dy/dx` का चिन्ह ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित होता है जब बिंदु x = 1 से होकर आगे बढ़ता है।
`therefore` y बिंदु x = 1 पर निम्नतम है।
निम्नतम मान, f(1) `= (1 - 1 + 1)/(1 + 1 + 1) = 1/3`
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