Question

यदि A = `[(3,-4),(1,-1)]` तो सिद्ध कीजिए कि Aⁿ = `[(1 + 2"n", -4"n"), ("n", 1 - 2"n")]` जहाँ n एक धन पूर्णांक है।

Answer 1

माना P(n) : Aⁿ = `[(1 + 2"n", -4"n"), ("n", 1 - 2"n")]`, जब कि, A = `[(3, -4), (1,-1)]`

n = 1 रखने पर, A = `[(1 + 2, -4),(1, 1 - 2)] = [(3,-4),(1,-1)]`

⇒ n = 1 के लिए P(n) सत्य है।

माना P(n) सत्य है, n = k के लिए

`therefore "A"^"k" = [(1 + 2"k",-4"k"),("k",1-2"k")]`

दोनों ओर A से गुणा करने पर,

L.H.S. = `"A"^"K" * "A" = "A"^("K + 1")`

R.H.S. = `[(1 + 2"k",-4"k"),("k",1-2"k")][(3,-4),(1,-1)]`

`= [(3(1 + "2k") - 4"k",-4(1 + "2k")+4"k"),("3k" + (1 - "2k"),-4"k" - 1(1 - 2"k"))]`

`= [(3 + 2"k",-4-4"k"),(1+"k",-1-2"k")]`

`= [(1+2("k + 1"),-4("k + 1")),("k + 1",-1 - 2("k + 1"))]`

`therefore "A"^("k + 1") = [(1+2("k + 1"),-4("k + 1")),("k + 1",-1 - 2("k + 1"))]`

∴ P(n) सत्य है n = k + 1 के लिए

इसलिए गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ϵ N के सभी मानों के लिए सत्य है। n ϵ N.