Question

यदि D(-7, 6), E(8, 5) और F(2, -2) त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदु हों तो उस त्रिभुज के केंद्रक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Answer 1

मानो कि, A(x₁, y₁); B(x₂, y₂) और C(x₃, y₃) यह ΔABC के शीर्षबिंदु है | D(-7, 6); E(8, 5) और F(2, -2) यह क्रमशः भुजा AB, भुजा BC तथा भुजा AC के मध्यबिंदु है |

मानो कि, G(x, y) यह त्रिभुज का केंद्रक बिंदु है | 

∴ मध्यबिंदु के सूत्र से,

`-7 = (x_1 + x_2)/2`

∴ `x_1 + x_2 = -14`   ....(1)

`8 = (x_2 + x_3)/2`

∴ `x_2 + x_3 = 16`     ....(2)

`2 = (x_1 + x_3)/2`

∴ `x_1 + x_3 = 4`      ....(3)

(1), (2) तथा (3) को जोड़ने पर,

`x_1 + x_2 + x_2 + x_3 + x_1 + x_3 = -14 + 16 + 4`

∴ `2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 6`

∴ `2(x_1 + x_2 + x_3) = 6`

∴ `x_1 + x_2 + x_3 = 6/2`

∴ `x_1 + x_2 + x_3 = 3`     ....(4)

∴ मध्यबिंदु के सूत्र से,

`6 = (y_1 + y_2)/2`

∴ `y_1 + y_2 = 12`      ....(5)

`5 = (y_2 + y_3)/2`

∴ `y_2 + y_3 = 10`      ....(6)

`-2 = (y_1 + y_3)/2`

∴ `y_1 + y_3` = -4       ...(7)

(5), (6) तथा (7) को जोड़ने पर,

`y_1 + y_2 + y_2 + y_3 + y_1 + y_3 = 12 + 10 - 4`

∴ `2y_1 + 2y_2 + 2y_3 = 18`

∴ `2(y_1 + y_2 + y_3) = 18`

∴ `y_1 + y_2 + y_3 = 18/2`

∴ `y_1 + y_2 + y_3 = 9`        ...(8)

बिंदु G(x, y) यह ΔABC का केंद्रक बिंदु है |

केंद्रक बिंदु के सूत्र से,

x = `(x_1 + x_2 + x_3)/3 = 3/3 = 1`    ...[(4) से]

y = `(y_1 + y_2 + y_3)/3 = 9/3 = 3`      ...[(8) से]

∴ बिंदु G का निर्देशांक (1, 3) है |

त्रिभुज के केंद्रक बिंदु का निर्देशांक (1, 3) है |