Advertisements
Advertisements
Question
यदि किसी अंकगणितीय श्रृंखला के पहले p पदों का योग पहले q पदों के योगफल के बराबर हो दिखाइए कि उसके पहले (p + q) पदों का योगफल शून्य है। (p ≠ q)
Solution
उपपत्ति: मानो, दी गई अंकगणितीय श्रृंखला का पहला पद a तथा सामान्य अंतर d है।
अब, Sp = Sq दिया है।
Sn = `"n"/2 [2"a" + ("n" - 1)"d"]` इस सूत्र के अनुसार,
`"p"/2` [2a + (p − 1)d] = `"q"/2` [2a + (q − 1)d]
∴ p [2a + (p − 1)d] = q [2a + (q − 1)d] ......(2 से गुणा करने पर)
∴ p(2a) + p(p − 1)d − q(2a) − q(q − 1)d = 0
∴ p(2a) − q(2a) + p(p − 1)d − q(q − 1)d = 0
∴ 2a (p − q) + [p(p − 1)d − q(q − 1)]d = 0
∴ 2a (p − q) + (p2 − p − q2 + q)d = 0
∴ 2a (p − q) + (p2 − q2 − p + q)d = 0
∴ 2a (p − q) + [(p − q) (p + q) − (p − q)d] = 0
∴ 2a (p − q) + (p − q) [p + q − 1]d = 0
∴ (p − q) [2a + (p + q − 1)d] = 0
परंतु, p ≠ q
∴ p − q ≠ 0
∴ 2a + (p + q − 1)d = 0 ............(I)
अब, Sp+q = `("p" + "q")/2` [2a + (p + q − 1)d] ..........(सूत्रानुसार)
= `("p" + "q")/2 xx 0` ......[कथन (I) से]
= 0
∴ Sp+q = 0
∴ पहले (p + q) पदों का योगफल शून्य है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
किसी व्यक्ति ने ₹ 8000 कर्ज लिया तथा उस पर ₹ 1360 ब्याज देने का वादा किया। प्रत्येक किस्त के बाद ₹ 40 कम करते हुए कुल 12 किस्तों मेंं उसने कर्ज का भुगतान कर दिया, तो उस व्यक्ति द्वारा भुगतान की गई पहली तथा अंतिम किस्त कितनी होगी?
सचिन द्वारा राष्ट्रीय बचत प्रमाणपत्र मेंं पहले वर्ष ₹ 5000, दूसरे वर्ष ₹ 7000, तीसरे वर्ष ₹ 9000 इस प्रकार निवेश किया गया तो सचिन ने 12 वर्षों मेंं कुल कितना निवेश किया?
किसी नाट्यगृह मेंं कुर्सियों की कुल 27 कतारें हैं। पहली कतार मेंं कुल 20 कुर्सियाँ हैं, दूसरी कतार मेंं कुल 22 कुर्सियाँ तथा तीसरी कतार में कुल 24 कुर्सियाँ हों तो 15 वीं कतार मेंं कुल कितनी कुर्सियाँ होंगी तथा नाट्यगृह मेंं कुल कितनी कुर्सियाँ होंगी?
कारगिल मेंं किसी सप्ताह के सोमवार से शनिवार तक का तापमान दर्ज किया गया। बाद मेंं ध्यान आया कि दर्ज जानकारी अंकगणितीय श्रृंखला मेंं है। सोमवार तथा शनिवार के तापमान का योगफल मंगलवार तथा शनिवार के तापमान के योगफल से 5° अधिक है। यदि बुधवार का तापमान −30° सेल्सियस हो तो प्रत्येक दिन का तापमान ज्ञात कीजिए।
1 से n तक की प्राकृत संख्याओं का योगफल 36 हो तो n का मान ज्ञात कीजिए।
207 इस संख्या के 3 भाग इस प्रकार कीजिए कि वे संख्याएँ अंकगणितीय श्रृंखला मेंं हो तथा उनमें से दो छोटी संख्याओं का गुणनफल 4623 हो।
एक अंकगणितीय श्रृंखला मेंं 37 पद हैं। सबसे मध्य के तीन पदों का योगफल 225 है और अंतिम तीन पदों का योगफल 429 हो तो अंकगणितीय श्रृंखला लिखिए।
जिस अंकगणितीय श्रृंखला का प्रथम पद a, दूसरा पद b और अंतिम पद c हो तो उस श्रृंखला के सभी पदों का योगफल `(("a" + "c") ("b" + "c" - 2"a"))/2 ("b" - "a")` है सिद्ध कीजिए।
अंकगणितीय श्रृंखला को m वें पद का m गुना यह n वें पद के n गुने के बराबर हो तो दिखाइए कि उसका (m + n) वाँ पद शून्य होता है।
किसी त्रिभुज के कोणों के माप अंकगणितीय श्रृंखला में हैं। सबसे छोटे कोण का माप सामान्य अंतर के 5 गुना है। उस त्रिभुज के सभी कोणों के माप ज्ञात करो। (त्रिभुज के कोणों के माप a, a + d, a + 2d लो।)
