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Question
यदि त्रिघात बहुपद x3 + ax2 + bx + c का एक शून्यक –1 है, तो अन्य दोनों शून्यकों का गुणनफल है ______।
Options
b – a + 1
b – a – 1
a – b + 1
a – b –1
Solution
यदि त्रिघात बहुपद x3 + ax2 + bx + c का एक शून्यक –1 है, तो अन्य दोनों शून्यकों का गुणनफल है b – a + 1।
स्पष्टीकरण:
माना p(x) = x3 + ax2 + bx + c
माना a, p और y दिए गए घन बहुपद p(x) के शून्यक हैं।
∴ α = –1 ......[दिया गया]
और p(−1) = 0
⇒ (–1)3 + a(–1)2 + b(–1) + c = 0
⇒ –1 + a – b + c = 0
⇒ c = 1 – a + b ......(i)
हम वह जानते हैं,
सभी शून्यों का गुणनफल = `(-1)^3`
`"स्थिर पद"/("का गुणांक" x^3) = - c/1`
αβγ = – c
⇒ (–1)βγ = −c .......[∴ α = –1]
⇒ βγ = c
⇒ βγ = 1 – a + b ......[समीकरण (i) से]
अतः अन्य दो जड़ों का गुणनफल 1 – a + b है।
वैकल्पिक विधि:
चूँकि −1 घन बहुपद f(x) = x2+ ax2 + bx + c के शून्यकों में से एक है।
यानी, (x + 1) f(x) का एक गुणनखंड है।
अब, विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके,
`x^2 + (a - 1)x + (b - a + 1)`
`x + 1")"overline(x^3 + ax^2 + bx + c)`
x3 + x2
(a – 1)x2 + bx
(a – 1)x2 + (a – 1)x
(b – a + 1)x + c
(b – a + 1)x (b – a + 1)
(c – b + a – 1)
⇒ x3 + ax2 + bx + c = (x + 1)x {x2 + (a – 1)x + (b – a + 1) > + (c – b + a – 1)
⇒ x3 + ax2 + bx + (b – a + 1) = (x + 1){x2 + (a – 1)x + (b – a + 1}}
मान लीजिए a और p दिए गए बहुपद के अन्य दो शून्यक हैं।
सभी शून्यों का गुणनफल = `(-1)alpha*beta`
= `(-"स्थिर पद")/("गुणांक" x^3)`
⇒ `- alpha*beta = (-(b - a + 1))/1`
⇒ `alpha beta` = – a + b + 1
अतः अन्य दो जड़ों का आवश्यक गुणनफल (–a + b + 1) है।
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