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प्रश्न
ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति में)। AC उसका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि
- SR || AC और SR = `1/2 AC` है।
- PQ = SR है।
- PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
उत्तर
(i) ΔADC में, S और R क्रमशः भुजा AD और CD के मध्य-बिंदु हैं।
किसी त्रिभुज में त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसका आधा होता है।
SR || AC और SR = `1/2 "AC"` ...(1)
(ii) ΔABC में, P और Q क्रमशः भुजा AB और BC के मध्य-बिंदु हैं। इसलिए, मध्य-बिंदु प्रमेय का उपयोग करके,
PQ || AC और PQ = `1/2 "AC"` ...(2)
समीकरण (1) और (2) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
PQ || SR और PQ = SR ...(3)
PQ = SR
(iii) समीकरण (3) से, हमने प्राप्त किया
PQ || SR और PQ = SR
स्पष्ट है कि चतुर्भुज PQRS की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर और बराबर है।
अत:, PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
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