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प्रश्न
ऐसी रैखिक असमिकाएँ ज्ञात कीजिए जिनका हल समुच्चय नीचे दी गई आकृति का छायांकित भाग है।
उत्तर
- 2x + 3y = 3 पर विचार कीजिए। हम देखते हैं कि छायांकित क्षेत्र एवं मूल बिंदु (0, 0) इस रेखा की विपरीत ओर स्थित हैं। मूल बिंदु (0, 0) असमिका 2x + 3y ≤ 3 को संतुष्ट करता है। इसलिए रेखा 2x + 3y = 3 के संगत असमिका x + 3y ≥ 3 होनी चाहिए।
- 3x + 4y = 18 पर विचार कीजिए। हम देखते हैं कि छायांकित क्षेत्र एवं मूल बिंदु (0, 0) उस रेखा के एक ही तरफ स्थित है और बिंदु (0, 0) असमिका 3x + 4y ≤ 18 को संतुष्ट आकृति करता है। इसलिए 3x + 4y ≤ 18, रेखा 3x + 4y = 18, की संगत असमिका है।
- –7x + 4y = 14 पर विचार कीजिए। आकृति को देखकर यह स्पष्ट है कि छायांकित क्षेत्र एवं मूल बिंदु इस रेखा के एक ही ओर स्थित है और बिंदु (0, 0) असमिका –7x + 4y ≤ 14 को संतुष्ट करता है। इसलिए रेखा –7x + 4y = 14 की संगत असमिका –7x + 4y ≤ 14 है।
- x – 6y = 3 पर विचार कीजिए। ध्यान दीजिए छायांकित क्षेत्र एवं मूल बिंदु इस रेखा के एक ही दिशा में स्थित हैं और बिंदु (0, 0) असमिका x – 6y ≤ 3 को संतुष्ट करता है। इसलिए रेखा x – 6y = 3 की संगत असमिका x – 6y ≤ 3 है।
- यह भी ध्यान दीजिए कि छायांकित क्षेत्र केवल प्रथम चतुर्थाश में स्थित हैं इसलिए x ≥ 0, y ≥ 0. अतः (i), (ii), (iii), (iv) एवं (v) से दिये हुए हल समुच्चय के संगत निम्नलिखित रैखिक असमिकाएँ प्राप्त होती हैं: 2x + 3y ≥ 3, 3x + 4y ≤ 18, –7x + 4y ≤ 14, x – 6y ≤ 3, x > 0, y ≥ 0
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