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प्रश्न
D, E और F क्रमशः ΔABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। वो दिखाओ
(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) ar (DEF) = `1/4`ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = `1/2`ar (ABC)
उत्तर
(i) In ΔABC,
E और F क्रमशः भुजा AC और AB के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए, EF || BC और EF = `1/2` BC (मध्य-बिंदु प्रमेय)
हालाँकि, BD = `1/2` BC (D, BC का मध्य-बिंदु है)
इसलिए, BD = EF and BD || EF
अत: BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) ऊपर प्राप्त परिणाम का उपयोग करते हुए, यह कहा जा सकता है कि चतुर्भुज BDEF, DCEF, AFDE समांतर चतुर्भुज हैं।
हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔBFD) = क्षेत्रफल (ΔDEF) (समांतर चतुर्भुज BD के लिए)
क्षेत्रफल (ΔCDE) = क्षेत्रफल (ΔDEF) (समानांतर चतुर्भुज DCEF के लिए)
क्षेत्रफल (ΔAFE) = क्षेत्रफल (ΔDEF) (समानांतर चतुर्भुज AFDE के लिए)
क्षेत्रफल (ΔAFE) = क्षेत्रफल (ΔBFD) = क्षेत्रफल (ΔCDE) = क्षेत्रफल (ΔDEF)
भी,
क्षेत्रफल (ΔAFE) + क्षेत्रफल (ΔBDF) + क्षेत्रफल (ΔCDE) + क्षेत्रफल (ΔDEF) = क्षेत्रफल (ΔABC)
क्षेत्र (ΔDEF) + क्षेत्र (ΔDEF) + क्षेत्र (ΔDEF) + क्षेत्र (ΔDEF) = क्षेत्र (ΔABC)
4 क्षेत्रफल (ΔDEF) = क्षेत्रफल (ΔABC)
क्षेत्रफल (ΔDEF) = `1/4` क्षेत्र (ΔABC)
(iii) क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF) = क्षेत्रफल (ΔDEF) + क्षेत्रफल (ΔBDF)
क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF)
= क्षेत्रफल (ΔDEF) + क्षेत्रफल (ΔDEF)
⇒ क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF)
= 2 क्षेत्रफल (ΔDEF)
= क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF)= `2xx1/4 "क्षेत्रफल"(ΔABC)`
= क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF) = `1/2` क्षेत्र (ΔABC)
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