Question

दर्शाइए कि बिंदु A(1, -2, -8), B(5, 0, -2) और C(11, 3, 7) संरेख है और B द्वारा AC को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer 1

दिए गए बिंदु A(1, -2, -8), B(5, 0, -2), C(11, 3, 7) है।

`vec(AB) = (5 - 1)hati + (0 + 2)hatj + (-2 + 8)hatk `

`= 4hati + 2hatj + 6hatk`

`vec(BC) = (11 - 5)hati + (3 - 0)hatj + (7 + 2)hatk `

`= 6hati + 3hatj + 9hatk`

`vec(AC) = (11 - 1)hati + (3 + 2)hatj + (7 + 8)hatk `

`= 10hati + 5hatj + 15hatk`

`|vec(AB)| = sqrt(4^2 + 2^2 + 6^2) `

`= sqrt(16 + 4 + 36)`

` = sqrt56 + 2sqrt14`

`|vec(BC)| = sqrt(6^2 + 3^2 + 9^2) `

`= sqrt(36 + 9 + 81) `

`= sqrt(126) `

`= 3sqrt14`

`|vec(AC)| = sqrt(10^2 + 5^2 + 15^2)`

`= sqrt(100 + 25 + 225) `

`= sqrt350 `

`= 5sqrt14`

`|vec(AC)| = |vec(AB)| + |vec(BC)|`

इस प्रकार दिए गए बिन्दु A, B, C आपस मे टकराते है। 

अब बिन्दु B को अनुपाद मे AC को विभाजित करते है λ:1 तो हमारे पास है।

`vec(OB) = (lambdavec(OC) + vec(OA))/((lambda + 1))`

`5hati - 2hatk = (lambda(11veci + 3hatj + 7hatk) + (hati - 2hatj - 8hatk))/(lambda + 1)`

`(lambda + 1)(5hati - 2hatk) = 11lambdahati + 3lambdahati + 7lambdahatk + hati - 2hatj - 8hatk`

`5(lambda + 1)hati - 2(lambda + 1)hatk = (11lambda + 1)hati + (3lambda - 2)hatj + (7lambda - 8)hatk`

संबंधित घटकों को बराबर करने पर हमे यह मिलता है।

`5(lambda + 1) = 11lambda + 1`

5λ + 5 = 11λ + 1

6λ = 4

λ = `4/6 = 2/3`

इसलिए बिंदु B अनुपाद मे AC को 2:3 में विभाजित करता है।