Advertisements
Advertisements
प्रश्न
दर्शाइए कि दिक्-कोसाइन `12/13, (-3)/13, (-4)/13; 4/13, 12/13, 3/13; 3/13, (-4)/13, 12/13` वाली तीन रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
उत्तर
दो रेखाएँ जिनकी दिक्-कोसाइन क्रमशः l1, m1, n1 और l2, m2, n2 परस्पर लंबवत् होंगी।
यदि l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0
(i) दिक्-कोसाइन `12/13, (-3)/13, (-4)/13; 4/13, 12/13, 3/13` वाली रेखाएँ
यहाँ, l1, m1, n1 का मान क्रमशः `2/13, (-3)/13, (-4)/13`
तथा l2, m2, n2 के मान क्रमशः `4/13, 12/13, 3/13` हैं।
अब, l1l2 + m1m2 + n1n2
= `12/13 xx 4/13 + ((-3)/13) (12/13) + ((-4)/13) (3/13)`
`= 48/169 - 36/169 - 12/169`
= 0
⇒ अतः दोनों रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
(ii) दिक्-कोसाइन `4/13, 12/13, 3/13; 3/13, (-4)/13, 12/13` वाली रेखाएँ
अब l1l2 + m1m2 + n1n2
= `4/13 xx 3/13 + 12/13 ((-4)/13) + 3/13 xx (12/13)`
`= 12/169 - 48/169 + 36/169`
= `(12 - 48 + 36)/169`
= 0
⇒ ये दोनों रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
(iii) दिक्-कोसाइन `3/13, (-4)/13, 12/13; 12/13, (-3)/13, (-4)/13` वाली रेखाएँ
अब l1l2 + m1m2 + n1n2
= `3/13 xx 12/13 + ((-4)/13) ((-3)/13) + 12/13 xx ((-4)/13)`
`= 36/169 + 12/169 - 48/169`
= `(36 + 12 - 48)/169`
= 0
⇒ दोनों रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
अतः, दी गई रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
दर्शाइए कि बिंदुओं (1, −1, 2), (3, 4, −2) से होकर जाने वाली रेखा बिंदुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा पर लंब है।
दर्शाइए कि बिंदुओं (4, 7, 8), (2, 3, 4) से होकर जाने वाली रेखा, बिंदुओं (−1, −2, 1), (1, 2, 5) से जाने वाली रेखा के समांतर है।
बिंदु (1, 2, 3) से गुज़रने वाली रेखा का λ ज्ञात कीजिए जो सदिश `3hati + 2hatj - 2hatk` के समांतर है।
बिंदु जिसकी स्थिति सदिश `2hati - hatj + 4hatk` से गुज़रने व सदिश `hati + 2hatj - hatk` की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (−2, 4, −5) से जाती है और `(x + 3)/3 = (y - 4)/5 = (z + 8)/6` के समांतर है।
एक रेखा का कार्तीय समीकरण `(x - 5)/3 = (y + 4)/7 = (z - 6)/2` है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
मूल बिंदु और (5, −2, 3) से जाने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
बिंदुओं (3, −2, −5) और (3, −2, 6) से गुज़रने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण को ज्ञात कीजिए।
बिंदु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा तल `vec"r". (hat"i" + 2hat"j" - 5hat"k") + 9 = 0` पर लंबवत् रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
बिंदु (a, b, c) से जाने वाले तथा तल `vec"r". (hat"i" + hat"j" + hat"k") = 2` के समांतर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा YZ-तल को काटती है।
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा ZX-तल को काटती है।
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं (3, −4, −5) और (2, −3, 1) से गुज़रने वाली रेखा, समतल 2x + y + z = 7 के पार जाती है।
