Question

खालील आकृती मध्ये रेख AD ⊥ रेख BC. रेख AE हा ∠CAB चा दुभाजक असून E-D-C. तर दाखवा, की m∠DAE = `1/2` (m∠C - m∠B)

Answer 1

पक्ष: रेख AD ⊥ रेख BC

रेख AE हा ∠CAB चा दुभाजक आहे.

साध्य: m∠DAE = `1/2` (m∠C - m∠B)

सिद्धता:

∴ ∠CAE = `1/2` ∠A   ...(i) (रेख AE हा ∠CAB चा दुभाजक आहे.)

∆DAE मध्ये,

∠DAE + ∠ADE + ∠AED = 180°  ...(त्रिकोणाच्या कोनांच्या मापांची बेरीज 180° असते.)

∴ ∠DAE + 90° + ∠AED = 180°      ...[∵ AD ⊥ BC]

∴ ∠DAE = 180° – 90° – ∠AED

∴ ∠DAE = 90° – ∠AED    ...(ii)

∆ACE मध्ये,

∴ ∠ACE + ∠CAE + ∠AEC = 180°      ...(त्रिकोणाच्या कोनांच्या मापांची बेरीज 180° असते.)

∠C + ∠A + ∠AED = 180°       ...[(i) वरून आणि C-D-E]

∴ ∠AED = 180° – ∠C – `1/2` ∠A    ...(iii)

∴ ∠DAE = 90° – 180° – ∠C + `1/2` ∠A     ...[(iii) चा (ii) मध्ये पर्याय]

∴ ∠DAE = ∠C + `1/2` ∠A – 90°    ...(iv)

∆ABC मध्ये,

∠A + ∠B + ∠C = 180°

∴ `1/2 "∠A" + 1/2 "∠B" + 1/2 "∠C" = 90°`  ...[दोन्ही बाजूंना 2 ने भागून]

∴ `1/2 "∠A" = 90° - 1/2 "∠C" - 1/2 "∠B"`     ...(v)

∴ ∠DAE = ∠C + `(90° 1/2 "∠C" - 1/2 "∠B") - 90°`  ...[(v) चा (iv) मध्ये पर्याय]

∴ ∠DAE = `"∠C" - 1/2  "∠C" - 1/2  "∠B"`

= `1/2  "∠C" - 1/2  "∠B"`

∴ ∠DAE = `1/2`(∠C - ∠B)