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प्रश्न
मान लीजिए कि s उस त्रिभुज ABC के अर्ध-परिमाप को व्यक्त करता है, जिसमें BC = a, CA = b और AB = c है। यदि एक वृत्त भुजाओं BC, CA और AB को क्रमश : D, E और F पर स्पर्श करता है, तो सिद्ध कीजिए कि BD = s – b है।
उत्तर
एक त्रिभुज ABC जिसमें BC = a, CA = b और AB = c है।
इसके अलावा, एक वृत्त खुदा हुआ है जो भुजाओं BC, CA और AB को क्रमशः D, E और F पर स्पर्श करता है और s त्रिभुज का अर्ध-परिधि है।
सिद्ध करना है: BD = s – b
सबूत:
हमारे पास है,
अर्ध-परिधि = s
परिमाप = 2s
2s = AB + BC + AC ...[1]
जैसा कि हम जानते हैं,
बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
तो हमारे पास
AF = AE ...[2] [बिंदु A से स्पर्शरेखा]
BF = BD ...[3] [बिंदु B से स्पर्शरेखा]
CD = CE ...[4] [बिंदु C से स्पर्शरेखा]
[2] [3] और [4] को जोड़ने पर,
AF + BF + CD = AE + BD + CE
AB + CD = AC + BD
दोनों पक्षों को BD जोड़ के,
AB + CD + BD = AC + BD + BD
AB + BC – AC = 2BD
AB + BC + AC – AC – AC = 2BD
2s – 2AC = 2BD ...[1 से]
2BD = 2s – 2b ...[चूंकि AC = b]
BD = s – b
अतः सिद्ध हुआ।
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