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प्रश्न
निम्नलिखित फलन के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
f(x) `= x sqrt(1 - x), 0 < x < 1`
उत्तर
दिया गया फलन, f(x) `= x sqrt(1 - x), 0 < x < 1` ....(1)
`therefore f'(x) = 1. sqrt(1 - x) + 1/(2 sqrt(1 - x))(- 1) * x`
`= (2 (1 - x) - x)/(2 sqrt(1 - x))`
`= (2 - 3x)/(2 sqrt(1 - x))`
यदि f'(x) = 0 तब `(2 - 3x)/(2 sqrt (1 - x)) = 0,`
`therefore x = 2/3`
`x = 2/3` पर, चिन्ह परिवर्तन धनात्मक से ऋणात्मक होता है जब x, x `= 2/3` से होकर आगे बढ़ता है
`therefore` बिंदु f पर स्थानीय उच्चतम है
अत: स्थानीय उच्चतम मान f(x) = f `(2/3) = 2/3 sqrt(1 - 2/3) = 2/3 sqrt(1/sqrt3)` ... [समीकरण (1) से, x = `2/3,` (1) में रखने पर]
`= 2/(2 sqrt3) = (2sqrt3)/9`
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